مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية و مبادئ في الحسابيات

بسم الله الرحمان الرحيم

اخي الكريم ، اختي الكريمة

ساقدم لكم اليوم ان شاء الله عُصارةً للجذع المشترك

و ذلك عن طريق دروس شاملة

لذلك قدِّروا مجهودي و لا تبخلوا علي بالردود

"ساضع الدروس واحدة واحدة و ليس في نفس اليوم لان ذلك عسير جدا
لذا ساضع درسا او اثنين في اليوم"

على بركة الله


1-الرياضيات





مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية و مبادئ في الحسابيات






القدرات المنتظرة

*- توظيف الزوجية وتفكيك عدد إلى جداء عوامل أولية في حل بعض المسائل البسيطة
حول الأعداد الصحيحة الطبيعية.



-I-مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية :

-1 مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية:

*نشاط*

من بين الأعداد التالية حدد تلك التي تمثل أعدادا صحيحة طبيعية:
5 ; 4+16 ; 5/2 ; 12-23 ; 15/3 ; 2.15

*تعريف*

الأعداد 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , .... , n ;تسمى أعدادا صحيحة طبيعية و تكون مجموعة تسمى مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية نرمز لها ب .N
نكتب ( 0 , 1 , 2 , ....)=N

مصطلحات و ترميز

*- العدد 0 يسمى العدد الصحيح الطبيعي المنعدم
*- مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية الغير المنعدمة نرمز لها بالرمز *N


2-الأعداد الزوجية – الأعداد الفردية:

*تعريف*

- نقول إن العدد الصحيح الطبيعي a عدد زوجي إذا وفقط آان يوجد عدد صحيح طبيعي k حيث : a=2k-نقول إن العدد الصحيح الطبيعي a عدد فردي إذا وفقط آان يوجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=2k+1

*أمثلة*


الأعداد 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , .. أعداد زوجية
الأعداد 1 , 3 , 5 , 7 , 9 .....أعداد فردية

*ملاحظات*

*- العدد الصحيح الطبيعي هو إما عدد زوجي أو عدد فردي
*- مجموع عددين زوجيين هو عدد زوجي
*-مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي
*-مجموع عدد زوجي و عدد فردي هو عدد فردي

II- مضاعفات عدد – قواسم عدد :

1-مضاعفات عدد:

*تعريف*

ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين حيث b غير منعدم
نقول إن العدد a مضاعف للعدد b إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=bk
*أمثلة*

- الأعداد 0 , 5 , 10 , 15 ... 1755 مضاعفات للعدد 5
-22 ليس مضاعف للعدد 4
* ليكن b عنصراً من *N
مضاعفات b هي الأعداد kb حيث k ينتمي الى N
0×k =0

*خاصية*

* لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم ما لنهاية من المضاعفات
* للعدد 0 مضاعف وحيد هو 0*المضاعف المشترك الأصغر*
ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين
المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b هو أصغر مضاعف مشترك غير منعدم للعددين a و b نرمز له بالرمز ppcm

أمثلة

ppcm (4;9) = 36
ppcm (6;10)=30

-2قواسم عدد:

*تعريف*

ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين حيث b غير منعدم
نقول إن العدد b قاسم للعدد a إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=bk

*ملاحظة*

العدد b قاسم للعدد a إذا وفقط إذا العدد a مضاعف للعدد b
نقول أيضا العدد a قابل للقسمة على b
-آلعدد آلصحيح آلطبيعي غير منعدم مخالفا ل 1 له على الاقل قاسمان 1 و نفسه
- للعدد 1 قاسم وحيد هو نفسه
-جميع الأعداد الصحيحة الطبيعية الغير المنعدمة تقسم 0

*القاسم المشترك الأآبر لعددين*

تعريف:

ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين
القاسم المشترك الأآبر للعددين a و b هو اآبر قاسم مشترك لهما
نرمز له بالرمز pgcd
مثال:

pgcd(126;90)=18
pgcd(4;9)=1



III-الأعداد الأولية :

1- تعريف:

نسمي عددا أوليا آل عدد صحيح طبيعي له قاسمان بالضبط

*أمثلة*

-حدد الأعداد الأولية الأصغر من 40الأعداد الأولية الأصغر من 40 هي: 2,3,7,11,13,17,19,23,29,31,37

2-التفكيك إلى جداء عوامل أولية لعدد غير أولي مبرهنة (مقبولة):

كل عدد صحيح طبيعي n هو عدد أولي أو جداء عوامل أولية .

أمثلة:

41 عدد أولي
72 عدد غير أولي و 72 = 8×9 = 3×3×2×2×2
تعريف:

ليكن a عددا صحيحا طبيعيا غير أولي
كتابة a على شكل جداء عوامله أولية تسمى " التفكيك إلى جداء عوامل أولية" للعدد a

أمثلة:
فكك الأعداد 24;319;1344 إلى جداء عوامل أولية
24=8×3=2×2×2×3
319=11×29
1344=4×4×4×21=2×2×2×2×2×2×3×7

تقنية للتفكيك


-لتفكيك عدد صحيح طبيعي غير منعدم a نأخذ اصغر عدد أولي يقسم a و ننجز القسمة فنحصل على عدد b خارج القسمة فنأخذ اصغر عدد أولي يقسم b فنحصل على خارج القسمة .......و نتابع على هذا المنوال حتى نحصل على خارج يساوي 1 .
العدد a سيكون هو جداء جميع الأعداد الأولية التي قسمنا بها .



إضافات

* طريقة لتحديد المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b حيث a>b
أحدد مضاعفات a ثم أتآكد بالتتابع ابتداء من أصغر مضاعف غير منعدم للعدد a هل هو مضاعف للعدد b , فإذا آان الجواب لا ، أتابع البحث إن آان نعم ، أتوقف و العدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b .

**طريقة لتحديد القاسم المشترك الآكبر للعددين a و b حيث a>b
أحدد قواسم العدد b ثم أتآكد بالتتابع تناقصيا ابتداء من أآبر قاسم للعدد b هل هو قاسم للعدد a فإذا آان الجواب لا ، أتابع البحث ان آان نعم ، أتوقف و العدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو القاسم المشترك الأآبر للعددين a و b .

***طريقة لتحديد ما إذا كان العدد a أوليا أم لا
نحدد أولا جميع الأعداد الأولية p حيث p×p<a
-إذا كان a يقبل القسمة على أحد هذه الأعداد فان a غير أولي
-إذا كان a لا يقبل القسمة على أي عدد من هذه الأعداد فان a أولي



المجموعات: IN; IR;Q;Z;ID



1-مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية :


*مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية هي (..., IN=(0,1,2,3,4
الاعداد الصحيحة الطبيعية و مقابلاتها تكون مجموعة الاعداد الصحيحة النسبية يرمز لها بZ

نكتب (... Z=(-3,-2,-1,0,1,2,3

ملاحظة:

آل عدد صحيح طبيعي هو عدد صحيح نسبي

نقول ان المجموعة IN جزء من المجموعة Z أو المجموعة IN ضمن المجموعة Z

2-مجموعة الأعداد العشرية النسبية:

*تعريف:كل عدد له كتابة كسرية على شكل a/10 n


نرمز لمجموعة الاعداد العشرية النسبية ب ID

*نتائج:

-العدد العشري له آتابة بعدد منته من الأرقام على يمين الفاصلة
-كل عدد صحيح نسبي a هو عدد عشري نسبي

3-مجموعة الأعداد الجذرية:

*تعريف*

العدد الجدري هو كل عدد يمكن كتابته على شكل a/b حيث a ينتمي الى Z و b ينتمي الى Z و b يخالف الصفر
يرمز لمجموعة الاعداد الجذرية بQ

-3/7 عدد جذري ; 6 عدد جذري ; -1.36 عدد جذري ; جذر 3 ليس عددا جذريا.

4-مجموعة الأعداد الحقيقية:

الاعداد الجذرية و الاعداد لا جذرية تكون مجموعة تسمى مجموعة الاعداد الحقيقية
يرمز لها ب IR


الترتيب في IR


*تعريف:


ليكن a و b عددين حقيقيين
a>b يعني a-b>0
a<b يعني a-b<0

* خاصيات و نتائج:

ليكن a و b و c و d أعداد حقيقية

إذاكان a>b و b>c فان a>c
إذاكان a>b فان a+c>b+c
إذاكان a> b و c>d فان a+c>b+d

إذاكان a>b و c>0 فان ac>bc
إذاكان a>b و c<0 فان ac<bc

إذاكان a>b>0 فان a2>b2
إذاكان 0<a<b فان a2<b2


x,b,a أعداد حقيقية حيث a≤x≤b

a+b/2 قيمة مقربة للعدد x بالدقة a-b/2


*المجالات:


مجموعة الاعداد


حيث: ترميزها قراءة و تمثيل على المستقيم X الحقيقية



a;b] a≤x≤b


يقرأ المجال المغلق الذي طرفاه a و b




a;b[ a≺x≺b


يقرأ المجال المفتوح الذي طرفاه a وb




a;b[ a≤x≺b


يقرأ المجال المفتوح على اليمين الذي طرفاه a و b

a;b] a≺x≤b

يقرأ المجال المفتوح على اليسار الذي طرفاه a و b

a;+∞[ a≤x
يقرأ المجال زائد ما لانهاية مغلق في a

a;+∞[ a≺x
يقرأ المجال زائد ما لانهاية مفتوح في a
]−∞,b] x ≤ b
مغلق في b ، يقرأ المجال ناقص لانهاية
]−∞;b[ x ≺ b

b مفتوح في b ، يقرأ المجال ناقص لانهاية



*القيمة المطلقة :

-ليكن Δ(O;I مستقيما مدرجا
القيمة المطلقة لكل عدد حقيقي x هي المسافة بين النقطة M التي أفصولها x و النقطة o .
ليكن x من IR

إذاكان x>0 فان x=x
إذاكان x<0 فان x=-x